参考资料：https://www.zybuluo.com/hanbingtao/note/581764
往期回顾
在上一篇文章中，我们介绍了循环神经网络以及它的训练算法。我们也介绍了循环神经网络很难训练的原因，这导致了它在实际应用中，很难处理长距离的依赖。在本文中，我们将介绍一种改进之后的循环神经网络：长短时记忆网络(Long Short Term Memory Network, LSTM)，它成功的解决了原始循环神经网络的缺陷，成为当前最流行的RNN，在语音识别、图片描述、自然语言处理等许多领域中成功应用。但不幸的一面是，LSTM的结构很复杂，因此，我们需要花上一些力气，才能把LSTM以及它的训练算法弄明白。在搞清楚LSTM之后，我们再介绍一种LSTM的变体：GRU (Gated Recurrent Unit)。 它的结构比LSTM简单，而效果却和LSTM一样好，因此，它正在逐渐流行起来。最后，我们仍然会动手实现一个LSTM。
长短时记忆网络是啥
我们首先了解一下长短时记忆网络产生的背景。回顾一下零基础入门深度学习(5) - 循环神经网络中推导的，误差项沿时间反向传播的公式：
$\begin{align} \delta_k^T=&\delta_t^T\prod_{i=k}^{t-1}diag[f’(\mathbf{net}_{i})]W\\ \end{align} $
我们可以根据下面的不等式，来获取$\delta_k^T$的模的上界（模可以看做对$\delta_k^T$中每一项值的大小的度量）：
$\begin{align} |\delta_k^T|\leqslant&|\delta_t^T|\prod_{i=k}^{t-1}|diag[f’(\mathbf{net}_{i})]||W|\\ \leqslant&|\delta_t^T|(\beta_f\beta_W)^{t-k} \end{align} $
我们可以看到，误差项$\delta$从t时刻传递到k时刻，其值的上界是$\beta_f\beta_w$的指数函数。$\beta_f\beta_w$分别是对角矩阵$diag[f’(\mathbf{net}_{i})]$和矩阵W模的上界。显然，除非乘积的值位于1附近，否则，当t-k很大时（也就是误差传递很多个时刻时），整个式子的值就会变得极小（当$\beta_f\beta_w$乘积小于1）或者极大（当$\beta_f\beta_w$乘积大于1），前者就是梯度消失，后者就是梯度爆炸。虽然科学家们搞出了很多技巧（比如怎样初始化权重），让$\beta_f\beta_w$的值尽可能贴近于1，终究还是难以抵挡指数函数的威力。
梯度消失到底意味着什么？在零基础入门深度学习(5) - 循环神经网络中我们已证明，权重数组W最终的梯度是各个时刻的梯度之和，即：
$\begin{align} \nabla_WE&=\sum_{k=1}^t\nabla_{Wk}E\\ &=\nabla_{Wt}E+\nabla_{Wt-1}E+\nabla_{Wt-2}E+…+\nabla_{W1}E \end{align} $
假设某轮训练中，各时刻的梯度以及最终的梯度之和如下图：
%20-%20%E9%95%BF%E7%9F%AD%E6%97%B6%E8%AE%B0%E5%BF%86%E7%BD%91%E7%BB%9C(LSTM)/2256672-48784f6366412472.png)
我们就可以看到，从上图的t-3时刻开始，梯度已经几乎减少到0了。那么，从这个时刻开始再往之前走，得到的梯度（几乎为零）就不会对最终的梯度值有任何贡献，这就相当于无论t-3时刻之前的网络状态h是什么，在训练中都不会对权重数组W的更新产生影响，也就是网络事实上已经忽略了t-3时刻之前的状态。这就是原始RNN无法处理长距离依赖的原因。
既然找到了问题的原因，那么我们就能解决它。从问题的定位到解决，科学家们大概花了7、8年时间。终于有一天，Hochreiter和Schmidhuber两位科学家发明出长短时记忆网络，一举解决这个问题。
其实，长短时记忆网络的思路比较简单。原始RNN的隐藏层只有一个状态，即h，它对于短期的输入非常敏感。那么，假如我们再增加一个状态，即c，让它来保存长期的状态，那么问题不就解决了么？如下图所示：
%20-%20%E9%95%BF%E7%9F%AD%E6%97%B6%E8%AE%B0%E5%BF%86%E7%BD%91%E7%BB%9C(LSTM)/2256672-71de4194da5a5ec4.png)
新增加的状态c，称为单元状态(cell state)。我们把上图按照时间维度展开：
%20-%20%E9%95%BF%E7%9F%AD%E6%97%B6%E8%AE%B0%E5%BF%86%E7%BD%91%E7%BB%9C(LSTM)/2256672-715658c134b9d6f1.png)
上图仅仅是一个示意图，我们可以看出，在t时刻，LSTM的输入有三个：当前时刻网络的输入值$\mathbf{x}_t$、上一时刻LSTM的输出值$\mathbf{h}_{t-1}$、以及上一时刻的单元状态$\mathbf{c}_{t-1}$；LSTM的输出有两个：当前时刻LSTM输出值$\mathbf{h}_t$、和当前时刻的单元状态$\mathbf{c}_t$。注意$\mathbf{x}$、$\mathbf{h}$、$\mathbf{c}$都是向量。
LSTM的关键，就是怎样控制长期状态c。在这里，LSTM的思路是使用三个控制开关。第一个开关，负责控制继续保存长期状态c；第二个开关，负责控制把即时状态输入到长期状态c；第三个开关，负责控制是否把长期状态c作为当前的LSTM的输出。三个开关的作用如下图所示：
%20-%20%E9%95%BF%E7%9F%AD%E6%97%B6%E8%AE%B0%E5%BF%86%E7%BD%91%E7%BB%9C(LSTM)/2256672-bff9353b92b9c488.png)
接下来，我们要描述一下，输出h和单元状态c的具体计算方法。
长短时记忆网络的前向计算
前面描述的开关是怎样在算法中实现的呢？这就用到了门（gate）的概念。门实际上就是一层全连接层，它的输入是一个向量，输出是一个0到1之间的实数向量。假设W是门的权重向量，是偏置项，那么门可以表示为：
$\begin{align}g(\mathbf{x})=\sigma(W\mathbf{x}+\mathbf{b}) \end{align} $
门的使用，就是用门的输出向量按元素乘以我们需要控制的那个向量。因为门的输出是0到1之间的实数向量，那么，当门输出为0时，任何向量与之相乘都会得到0向量，这就相当于啥都不能通过；输出为1时，任何向量与之相乘都不会有任何改变，这就相当于啥都可以通过。因为$\sigma$（也就是sigmoid函数）的值域是(0,1)，所以门的状态都是半开半闭的。
LSTM用两个门来控制单元状态c的内容，一个是遗忘门（forget gate），它决定了上一时刻的单元状态$\mathbf{c}_{t-1}$有多少保留到当前时刻$\mathbf{c}_{t}$；另一个是输入门（input gate），它决定了当前时刻网络的输入$\mathbf{x}_t$有多少保存到单元状态$\mathbf{c}_t$。LSTM用输出门（output gate）来控制单元状态$\mathbf{c}_t$有多少输出到LSTM的当前输出值$\mathbf{h}_t$。
我们先来看一下遗忘门：
$\begin{align}\mathbf{f}_t=\sigma(W_f\cdot[\mathbf{h}_{t-1},\mathbf{x}_t]+\mathbf{b}_f)\qquad\quad(式1) \end{align} $
上式中，$W_f$是遗忘门的权重矩阵，$[\mathbf{h}_{t-1},\mathbf{x}_t]$表示把两个向量连接成一个更长的向量，$\mathbf{b}_f$是遗忘门的偏置项，$\sigma$是sigmoid函数。如果输入的维度是$d_x$，隐藏层的维度是$d_h$，单元状态的维度是$d_c$（通常$d_c=d_h$），则遗忘门的权重矩阵$W_f$维度是$d_c\times (d_h+d_x)$。事实上，权重矩阵$W_f$都是两个矩阵拼接而成的：一个是$W_{fh}$，它对应着输入项$\mathbf{h}_{t-1}$，其维度为$d_c\times d_h$；一个是$W_{fx}$，它对应着输入项$\mathbf{x}_t$，其维度为$d_c\times d_x$。$W_f$可以写为：
$\begin{align} \begin{bmatrix}W_f\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{h}_{t-1}\\ \mathbf{x}_t\end{bmatrix}&= \begin{bmatrix}W_{fh}&W_{fx}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{h}_{t-1}\\ \mathbf{x}_t\end{bmatrix}\\ &=W_{fh}\mathbf{h}_{t-1}+W_{fx}\mathbf{x}_t \end{align} $
下图显示了遗忘门的计算：
%20-%20%E9%95%BF%E7%9F%AD%E6%97%B6%E8%AE%B0%E5%BF%86%E7%BD%91%E7%BB%9C(LSTM)/2256672-c7f7ca0aa64b562f.png)
接下来看看输入门：
$\begin{align} \mathbf{i}_t=\sigma(W_i\cdot[\mathbf{h}_{t-1},\mathbf{x}_t]+\mathbf{b}_i)\qquad\quad(式2) \end{align} $
上式中，是输入门的权重矩阵，是输入门的偏置项。下图表示了输入门的计算：
%20-%20%E9%95%BF%E7%9F%AD%E6%97%B6%E8%AE%B0%E5%BF%86%E7%BD%91%E7%BB%9C(LSTM)/2256672-89529fa23d9c8a7d.png)
接下来，我们计算用于描述当前输入的单元状态$\mathbf{\tilde{c}}_t$，它是根据上一次的输出和本次输入来计算的：
$\begin{align} \mathbf{\tilde{c}}_t=\tanh(W_c\cdot[\mathbf{h}_{t-1},\mathbf{x}_t]+\mathbf{b}_c)\qquad\quad(式3) \end{align} $
下图是$\mathbf{\tilde{c}}_t$的计算：
%20-%20%E9%95%BF%E7%9F%AD%E6%97%B6%E8%AE%B0%E5%BF%86%E7%BD%91%E7%BB%9C(LSTM)/2256672-73a0246cafc1d10d.png)
现在，我们计算当前时刻的单元状态$\mathbf{\tilde{c}}_t$。它是由上一次的单元状态$\mathbf{\tilde{c}}_{t-1}$按元素乘以遗忘门$f_t$，再用当前输入的单元状态$\mathbf{\tilde{c}}_t$按元素乘以输入门$i_t$，再将两个积加和产生的：
$\begin{align} \mathbf{c}_t=f_t\circ{\mathbf{c}_{t-1}}+i_t\circ{\mathbf{\tilde{c}}_t}\qquad\quad(式4) \end{align} $
符号表示按元素乘。下图是$\mathbf{c}_t$的计算：
%20-%20%E9%95%BF%E7%9F%AD%E6%97%B6%E8%AE%B0%E5%BF%86%E7%BD%91%E7%BB%9C(LSTM)/2256672-5c766f3d734334b1.png)
这样，我们就把LSTM关于当前的记忆$\mathbf{\tilde{c}}_t$和长期的记忆$\mathbf{\tilde{c}}_{t-1}$组合在一起，形成了新的单元状态$\mathbf{\tilde{c}}_t$。由于遗忘门的控制，它可以保存很久很久之前的信息，由于输入门的控制，它又可以避免当前无关紧要的内容进入记忆。下面，我们要看看输出门，它控制了长期记忆对当前输出的影响：
$\begin{align} \mathbf{o}_t=\sigma(W_o\cdot[\mathbf{h}_{t-1},\mathbf{x}_t]+\mathbf{b}_o)\qquad\quad(式5)\end{align} $
下图表示输出门的计算：
%20-%20%E9%95%BF%E7%9F%AD%E6%97%B6%E8%AE%B0%E5%BF%86%E7%BD%91%E7%BB%9C(LSTM)/2256672-fd4d91d1b68b3759.png)
LSTM最终的输出，是由输出门和单元状态共同确定的：
$\begin{align}\mathbf{h}_t=\mathbf{o}_t\circ \tanh(\mathbf{c}_t)\qquad\quad(式6)\end{align} $
下图表示LSTM最终输出的计算：
%20-%20%E9%95%BF%E7%9F%AD%E6%97%B6%E8%AE%B0%E5%BF%86%E7%BD%91%E7%BB%9C(LSTM)/2256672-7ea82e4f1ac6cd75.png)
式1到式6就是LSTM前向计算的全部公式。至此，我们就把LSTM前向计算讲完了。
长短时记忆网络的训练
熟悉我们这个系列文章的同学都清楚，训练部分往往比前向计算部分复杂多了。LSTM的前向计算都这么复杂，那么，可想而知，它的训练算法一定是非常非常复杂的。现在只有做几次深呼吸，再一头扎进公式海洋吧。
LSTM训练算法框架
LSTM的训练算法仍然是反向传播算法，对于这个算法，我们已经非常熟悉了。主要有下面三个步骤：
- 前向计算每个神经元的输出值，对于LSTM来说，即$\mathbf{f}_t$、$\mathbf{i}_t$、$\mathbf{c}_t$、$\mathbf{o}_t$、$\mathbf{h}_t$五个向量的值。计算方法已经在上一节中描述过了。
- 反向计算每个神经元的误差项$\sigma $值。与循环神经网络一样，LSTM误差项的反向传播也是包括两个方向：一个是沿时间的反向传播，即从当前t时刻开始，计算每个时刻的误差项；一个是将误差项向上一层传播。
- 根据相应的误差项，计算每个权重的梯度。
关于公式和符号的说明
首先，我们对推导中用到的一些公式、符号做一下必要的说明。
接下来的推导中，我们设定gate的激活函数为sigmoid函数，输出的激活函数为tanh函数。他们的导数分别为：
$\begin{align} \sigma(z)&=y=\frac{1}{1+e^{-z}}\\ \sigma’(z)&=y(1-y)\\ \tanh(z)&=y=\frac{e^z-e^{-z}}{e^z+e^{-z}}\\ \tanh’(z)&=1-y^2 \end{align} $
从上面可以看出，sigmoid和tanh函数的导数都是原函数的函数。这样，我们一旦计算原函数的值，就可以用它来计算出导数的值。
LSTM需要学习的参数共有8组，分别是：遗忘门的权重矩阵$W_f$和偏置项$\mathbf{b}_f$、输入门的权重矩阵$W_i$和偏置项$\mathbf{b}_i$、输出门的权重矩阵$W_o$和偏置项$\mathbf{b}_o$，以及计算单元状态的权重矩阵$W_c$和偏置项$\mathbf{b}_c$。因为权重矩阵的两部分在反向传播中使用不同的公式，因此在后续的推导中，权重矩阵$W_f$、$W_i$、$W_c$、$W_o$都将被写为分开的两个矩阵：$W_{fh}$、$W_{fx}$、$W_{ih}$、$W_{ix}$、$W_{oh}$、$W_{ox}$、$W_{ch}$、$W_{cx}$。
我们解释一下按元素乘$\circ$符号。当$\circ$作用于两个向量时，运算如下：
$\begin{align}\mathbf{a}\circ\mathbf{b}=\begin{bmatrix} a_1\\a_2\\a_3\...\\a_n \end{bmatrix}\circ\begin{bmatrix} b_1\\b_2\\b_3\...\\b_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_1b_1\\a_2b_2\\a_3b_3\...\\a_nb_n \end{bmatrix} \end{align} $
当作用于一个向量和一个矩阵时，运算如下：
$\begin{align} \mathbf{a}\circ X&=\begin{bmatrix} a_1\\a_2\\a_3\...\\a_n \end{bmatrix}\circ\begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} & … & x_{1n}\\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & … & x_{2n}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33} & … & x_{3n}\\ & & …\\ x_{n1} & x_{n2} & x_{n3} & … & x_{nn}\\ \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} a_1x_{11} & a_1x_{12} & a_1x_{13} & … & a_1x_{1n}\\ a_2x_{21} & a_2x_{22} & a_2x_{23} & … & a_2x_{2n}\\ a_3x_{31} & a_3x_{32} & a_3x_{33} & … & a_3x_{3n}\\ & & …\\ a_nx_{n1} & a_nx_{n2} & a_nx_{n3} & … & a_nx_{nn}\\ \end{bmatrix} \end{align} $
当作用于两个矩阵时，两个矩阵对应位置的元素相乘。按元素乘可以在某些情况下简化矩阵和向量运算。例如，当一个对角矩阵右乘一个矩阵时，相当于用对角矩阵的对角线组成的向量按元素乘那个矩阵：
$\begin{align} diag[\mathbf{a}]X=\mathbf{a}\circ X \end{align}$
当一个行向量右乘一个对角矩阵时，相当于这个行向量按元素乘那个矩阵对角线组成的向量：
$\begin{align} \mathbf{a}^Tdiag[\mathbf{b}]=\mathbf{a}\circ\mathbf{b} \end{align} $
上面这两点，在我们后续推导中会多次用到。
在t时刻，LSTM的输出值为$\mathbf{h}_t$。我们定义t时刻的误差项$\delta_t$为：
$\begin{align}\delta_t\overset{def}{=}\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{h}_t}} \end{align} $
注意，和前面几篇文章不同，我们这里假设误差项是损失函数对输出值的导数，而不是对加权输入$net_t^l$的导数。因为LSTM有四个加权输入，分别对应$\mathbf{f}_t$、$\mathbf{i}_t$、$\mathbf{c}_t$、$\mathbf{o}_t$，我们希望往上一层传递一个误差项而不是四个。但我们仍然需要定义出这四个加权输入，以及他们对应的误差项。
$\begin{align} \mathbf{net}_{f,t}&=W_f[\mathbf{h}_{t-1},\mathbf{x}_t]+\mathbf{b}_f\\ &=W_{fh}\mathbf{h}_{t-1}+W_{fx}\mathbf{x}_t+\mathbf{b}_f\\ \mathbf{net}_{i,t}&=W_i[\mathbf{h}_{t-1},\mathbf{x}_t]+\mathbf{b}_i\\ &=W_{ih}\mathbf{h}_{t-1}+W_{ix}\mathbf{x}_t+\mathbf{b}_i\\ \mathbf{net}_{\tilde{c},t}&=W_c[\mathbf{h}_{t-1},\mathbf{x}_t]+\mathbf{b}_c\\ &=W_{ch}\mathbf{h}_{t-1}+W_{cx}\mathbf{x}_t+\mathbf{b}_c\\ \mathbf{net}_{o,t}&=W_o[\mathbf{h}_{t-1},\mathbf{x}_t]+\mathbf{b}_o\\ &=W_{oh}\mathbf{h}_{t-1}+W_{ox}\mathbf{x}_t+\mathbf{b}_o\\ \delta_{f,t}&\overset{def}{=}\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}\\ \delta_{i,t}&\overset{def}{=}\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}\\ \delta_{\tilde{c},t}&\overset{def}{=}\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}\\ \delta_{o,t}&\overset{def}{=}\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}\\ \end{align} $
误差项沿时间的反向传递
沿时间反向传递误差项，就是要计算出t-1时刻的误差项$\sigma_{t-1}$。
$\begin{align} \delta_{t-1}^T&=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}}\\ &=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{h_t}}}\frac{\partial{\mathbf{h_t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}}\\ &=\delta_{t}^T\frac{\partial{\mathbf{h_t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}} \end{align} $
我们知道，$\frac{\partial{\mathbf{h_t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}}$是一个Jacobian矩阵。如果隐藏层h的维度是N的话，那么它就是一个$N\times N$矩阵。为了求出它，我们列出$\mathbf{h}_t$的计算公式，即前面的式6和式4：
$\begin{align} \mathbf{h}_t&=\mathbf{o}_t\circ \tanh(\mathbf{c}_t)\\ \mathbf{c}_t&=\mathbf{f}_t\circ\mathbf{c}_{t-1}+\mathbf{i}_t\circ\mathbf{\tilde{c}}_t \end{align} $
显然，$\mathbf{o}_t$、$\mathbf{f}_t$、$\mathbf{i}_t$、$\mathbf{\tilde{c}}_t$都是$\mathbf{h}_{t-1}$的函数，那么，利用全导数公式可得：
$\begin{align} \delta_t^T\frac{\partial{\mathbf{h_t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}}&=\delta_t^T\frac{\partial{\mathbf{h_t}}}{\partial{\mathbf{o}_t}}\frac{\partial{\mathbf{o}_t}}{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}} +\delta_t^T\frac{\partial{\mathbf{h_t}}}{\partial{\mathbf{c}_t}}\frac{\partial{\mathbf{c}_t}}{\partial{\mathbf{f_{t}}}}\frac{\partial{\mathbf{f}_t}}{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}} +\delta_t^T\frac{\partial{\mathbf{h_t}}}{\partial{\mathbf{c}_t}}\frac{\partial{\mathbf{c}_t}}{\partial{\mathbf{i_{t}}}}\frac{\partial{\mathbf{i}_t}}{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}} +\delta_t^T\frac{\partial{\mathbf{h_t}}}{\partial{\mathbf{c}_t}}\frac{\partial{\mathbf{c}_t}}{\partial{\mathbf{\tilde{c}}_{t}}}\frac{\partial{\mathbf{\tilde{c}}_t}}{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}}\\ &=\delta_{o,t}^T\frac{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}} +\delta_{f,t}^T\frac{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}} +\delta_{i,t}^T\frac{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}} +\delta_{\tilde{c},t}^T\frac{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}}\qquad\quad(式7) \end{align} $
下面，我们要把式7中的每个偏导数都求出来。根据式6，我们可以求出：
$\begin{align} \frac{\partial{\mathbf{h_t}}}{\partial{\mathbf{o}_t}}&=diag[\tanh(\mathbf{c}_t)]\\ \frac{\partial{\mathbf{h_t}}}{\partial{\mathbf{c}_t}}&=diag[\mathbf{o}_t\circ(1-\tanh(\mathbf{c}_t)^2)] \end{align} $
根据式4，我们可以求出：
$\begin{align} \frac{\partial{\mathbf{c}_t}}{\partial{\mathbf{f_{t}}}}&=diag[\mathbf{c}_{t-1}]\\ \frac{\partial{\mathbf{c}_t}}{\partial{\mathbf{i_{t}}}}&=diag[\mathbf{\tilde{c}}_t]\\ \frac{\partial{\mathbf{c}_t}}{\partial{\mathbf{\tilde{c}_{t}}}}&=diag[\mathbf{i}_t]\\ \end{align} $
因为：
$\begin{align} \mathbf{o}_t&=\sigma(\mathbf{net}_{o,t})\\ \mathbf{net}_{o,t}&=W_{oh}\mathbf{h}_{t-1}+W_{ox}\mathbf{x}_t+\mathbf{b}_o\\\\ \mathbf{f}_t&=\sigma(\mathbf{net}_{f,t})\\ \mathbf{net}_{f,t}&=W_{fh}\mathbf{h}_{t-1}+W_{fx}\mathbf{x}_t+\mathbf{b}_f\\\\ \mathbf{i}_t&=\sigma(\mathbf{net}_{i,t})\\ \mathbf{net}_{i,t}&=W_{ih}\mathbf{h}_{t-1}+W_{ix}\mathbf{x}_t+\mathbf{b}_i\\\\ \mathbf{\tilde{c}}_t&=\tanh(\mathbf{net}_{\tilde{c},t})\\ \mathbf{net}_{\tilde{c},t}&=W_{ch}\mathbf{h}_{t-1}+W_{cx}\mathbf{x}_t+\mathbf{b}_c\\ \end{align} $
我们很容易得出：
$\begin{align} \frac{\partial{\mathbf{o}_t}}{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}&=diag[\mathbf{o}_t\circ(1-\mathbf{o}_t)]\\ \frac{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}}&=W_{oh}\\ \frac{\partial{\mathbf{f}_t}}{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}&=diag[\mathbf{f}_t\circ(1-\mathbf{f}_t)]\\ \frac{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}{\partial{\mathbf{h}_{t-1}}}&=W_{fh}\\ \frac{\partial{\mathbf{i}_t}}{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}&=diag[\mathbf{i}_t\circ(1-\mathbf{i}_t)]\\ \frac{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}{\partial{\mathbf{h}_{t-1}}}&=W_{ih}\\ \frac{\partial{\mathbf{\tilde{c}}_t}}{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}&=diag[1-\mathbf{\tilde{c}}_t^2]\\ \frac{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}{\partial{\mathbf{h}_{t-1}}}&=W_{ch} \end{align} $
将上述偏导数带入到式7，我们得到：
$\begin{align} \delta_{t-1}&=\delta_{o,t}^T\frac{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}} +\delta_{f,t}^T\frac{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}} +\delta_{i,t}^T\frac{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}} +\delta_{\tilde{c},t}^T\frac{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}}\\ &=\delta_{o,t}^T W_{oh} +\delta_{f,t}^TW_{fh} +\delta_{i,t}^TW_{ih} +\delta_{\tilde{c},t}^TW_{ch}\qquad\quad(式8)\\ \end{align} $
根据$\delta_{o,t}$、$\delta_{f,t}$、$\delta_{i,t}$、$\delta_{\tilde{c},t}$的定义，可知：
$\begin{align} \delta_{o,t}^T&=\delta_t^T\circ\tanh(\mathbf{c}_t)\circ\mathbf{o}_t\circ(1-\mathbf{o}_t)\qquad\quad(式9)\\ \delta_{f,t}^T&=\delta_t^T\circ\mathbf{o}_t\circ(1-\tanh(\mathbf{c}_t)^2)\circ\mathbf{c}_{t-1}\circ\mathbf{f}_t\circ(1-\mathbf{f}_t)\qquad(式10)\\ \delta_{i,t}^T&=\delta_t^T\circ\mathbf{o}_t\circ(1-\tanh(\mathbf{c}_t)^2)\circ\mathbf{\tilde{c}}_t\circ\mathbf{i}_t\circ(1-\mathbf{i}_t)\qquad\quad(式11)\\ \delta_{\tilde{c},t}^T&=\delta_t^T\circ\mathbf{o}_t\circ(1-\tanh(\mathbf{c}_t)^2)\circ\mathbf{i}_t\circ(1-\mathbf{\tilde{c}}^2)\qquad\quad(式12)\\ \end{align} $
式8到式12就是将误差沿时间反向传播一个时刻的公式。有了它，我们可以写出将误差项向前传递到任意k时刻的公式：
$\begin{align} \delta_k^T=\prod_{j=k}^{t-1}\delta_{o,j}^TW_{oh} +\delta_{f,j}^TW_{fh} +\delta_{i,j}^TW_{ih} +\delta_{\tilde{c},j}^TW_{ch}\qquad\quad(式13) \end{align}$
将误差项传递到上一层
我们假设当前为第l层，定义l-1层的误差项是误差函数对l-1层加权输入的导数，即：
$\begin {align} \delta_t^{l-1}\overset{def}{=}\frac{\partial{E}}{\mathbf{net}_t^{l-1}} \end {align} $
本次LSTM的输入$x_t$由下面的公式计算：
$\begin {align} \mathbf{x}_t^l=f^{l-1}(\mathbf{net}_t^{l-1}) \end{align} $
上式中，$f^{l-1}$表示第l-1层的激活函数。
因为$\mathbf{net}_{f,t}^l$、$\mathbf{net}_{i,t}^l$、$\mathbf{net}_{\tilde{c},t}^l$、$\mathbf{net}_{o,t}^l$都是$\mathbf{x}_t$的函数，$\mathbf{x}_t$又是$\mathbf{net}_t^{l-1}$的函数，因此，要求出E对$\mathbf{net}_t^{l-1}$的导数，就需要使用全导数公式：
$\begin{align} \frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_t^{l-1}}}&=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{\mathbf{net}_{f,t}^l}}}\frac{\partial{\mathbf{\mathbf{net}_{f,t}^l}}}{\partial{\mathbf{x}_t^l}}\frac{\partial{\mathbf{x}_t^l}}{\partial{\mathbf{\mathbf{net}_t^{l-1}}}} +\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{\mathbf{net}_{i,t}^l}}}\frac{\partial{\mathbf{\mathbf{net}_{i,t}^l}}}{\partial{\mathbf{x}_t^l}}\frac{\partial{\mathbf{x}_t^l}}{\partial{\mathbf{\mathbf{net}_t^{l-1}}}} +\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}^l}}}\frac{\partial{\mathbf{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}^l}}}{\partial{\mathbf{x}_t^l}}\frac{\partial{\mathbf{x}_t^l}}{\partial{\mathbf{\mathbf{net}_t^{l-1}}}} +\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{\mathbf{net}_{o,t}^l}}}\frac{\partial{\mathbf{\mathbf{net}_{o,t}^l}}}{\partial{\mathbf{x}_t^l}}\frac{\partial{\mathbf{x}_t^l}}{\partial{\mathbf{\mathbf{net}_t^{l-1}}}}\\ &=\delta_{f,t}^TW_{fx}\circ f’(\mathbf{net}_t^{l-1})+\delta_{i,t}^TW_{ix}\circ f’(\mathbf{net}_t^{l-1})+\delta_{\tilde{c},t}^TW_{cx}\circ f’(\mathbf{net}_t^{l-1})+\delta_{o,t}^TW_{ox}\circ f’(\mathbf{net}_t^{l-1})\\ &=(\delta_{f,t}^TW_{fx}+\delta_{i,t}^TW_{ix}+\delta_{\tilde{c},t}^TW_{cx}+\delta_{o,t}^TW_{ox})\circ f’(\mathbf{net}_t^{l-1})\qquad\quad(式14) \end{align} $
式14就是将误差传递到上一层的公式。
权重梯度的计算
对于$W_{fh}$、$W_{ih}$、$W_{ch}$、$W_{oh}$的权重梯度，我们知道它的梯度是各个时刻梯度之和（证明过程请参考文章零基础入门深度学习(5) - 循环神经网络），我们首先求出它们在t时刻的梯度，然后再求出他们最终的梯度。
我们已经求得了误差项$\delta_{o,t}$、$\delta_{f,t}$、$\delta_{i,t}$、$\delta_{\tilde{c},t}$，很容易求出t时刻的$W_{oh}$、$W_{ih}$、$W_{fh}$、$W_{ch}$的：
$\begin{align} \frac{\partial{E}}{\partial{W_{oh,t}}}&=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}{\partial{W_{oh,t}}}\\ &=\delta_{o,t}\mathbf{h}_{t-1}^T\\\\ \frac{\partial{E}}{\partial{W_{fh,t}}}&=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}{\partial{W_{fh,t}}}\\ &=\delta_{f,t}\mathbf{h}_{t-1}^T\\\\ \frac{\partial{E}}{\partial{W_{ih,t}}}&=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}{\partial{W_{ih,t}}}\\ &=\delta_{i,t}\mathbf{h}_{t-1}^T\\\\ \frac{\partial{E}}{\partial{W_{ch,t}}}&=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}{\partial{W_{ch,t}}}\\ &=\delta_{\tilde{c},t}\mathbf{h}_{t-1}^T\\ \end{align} $
将各个时刻的梯度加在一起，就能得到最终的梯度：
$\begin{align} \frac{\partial{E}}{\partial{W_{oh}}}&=\sum_{j=1}^t\delta_{o,j}\mathbf{h}_{j-1}^T\\ \frac{\partial{E}}{\partial{W_{fh}}}&=\sum_{j=1}^t\delta_{f,j}\mathbf{h}_{j-1}^T\\ \frac{\partial{E}}{\partial{W_{ih}}}&=\sum_{j=1}^t\delta_{i,j}\mathbf{h}_{j-1}^T\\ \frac{\partial{E}}{\partial{W_{ch}}}&=\sum_{j=1}^t\delta_{\tilde{c},j}\mathbf{h}_{j-1}^T\\ \end{align} $
对于偏置项$\mathbf{b}_f$、$\mathbf{b}_i$、$\mathbf{b}_c$、$\mathbf{b}_o$的梯度，也是将各个时刻的梯度加在一起。下面是各个时刻的偏置项梯度：
$\begin{align} \frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{b}_{o,t}}}&=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}{\partial{\mathbf{b}_{o,t}}}\\ &=\delta_{o,t}\\\\ \frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{b}_{f,t}}}&=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}{\partial{\mathbf{b}_{f,t}}}\\ &=\delta_{f,t}\\\\ \frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{b}_{i,t}}}&=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}{\partial{\mathbf{b}_{i,t}}}\\ &=\delta_{i,t}\\\\ \frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{b}_{c,t}}}&=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}{\partial{\mathbf{b}_{c,t}}}\\ &=\delta_{\tilde{c},t}\\ \end{align} $
下面是最终的偏置项梯度，即将各个时刻的偏置项梯度加在一起：
$\begin{align} \frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{b}_o}}&=\sum_{j=1}^t\delta_{o,j}\\ \frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{b}_i}}&=\sum_{j=1}^t\delta_{i,j}\\ \frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{b}_f}}&=\sum_{j=1}^t\delta_{f,j}\\ \frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{b}_c}}&=\sum_{j=1}^t\delta_{\tilde{c},j}\\ \end{align} $
对于$W_{fx}$、$W_{ix}$、$W_{cx}$、$W_{ox}$的权重梯度，只需要根据相应的误差项直接计算即可：
$\begin{align} \frac{\partial{E}}{\partial{W_{ox}}}&=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{o,t}}}{\partial{W_{ox}}}\\ &=\delta_{o,t}\mathbf{x}_{t}^T\\\\ \frac{\partial{E}}{\partial{W_{fx}}}&=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{f,t}}}{\partial{W_{fx}}}\\ &=\delta_{f,t}\mathbf{x}_{t}^T\\\\ \frac{\partial{E}}{\partial{W_{ix}}}&=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{i,t}}}{\partial{W_{ix}}}\\ &=\delta_{i,t}\mathbf{x}_{t}^T\\\\ \frac{\partial{E}}{\partial{W_{cx}}}&=\frac{\partial{E}}{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}\frac{\partial{\mathbf{net}_{\tilde{c},t}}}{\partial{W_{cx}}}\\ &=\delta_{\tilde{c},t}\mathbf{x}_{t}^T\\ \end{align} $
以上就是LSTM的训练算法的全部公式。因为这里面存在很多重复的模式，仔细看看，会发觉并不是太复杂。
当然，LSTM存在着相当多的变体，读者可以在互联网上找到很多资料。因为大家已经熟悉了基本LSTM的算法，因此理解这些变体比较容易，因此本文就不再赘述了。
长短时记忆网络的实现
完整代码请参考GitHub: https://github.com/hanbt/learn_dl/blob/master/lstm.py (python2.7)
在下面的实现中，LSTMLayer的参数包括输入维度、输出维度、隐藏层维度，单元状态维度等于隐藏层维度。gate的激活函数为sigmoid函数，输出的激活函数为tanh。
激活函数的实现
我们先实现两个激活函数：sigmoid和tanh。
class SigmoidActivator(object):
def forward(self, weighted_input):
return 1.0 / (1.0 + np.exp(-weighted_input))
def backward(self, output):
return output * (1 - output)
class TanhActivator(object):
def forward(self, weighted_input):
return 2.0 / (1.0 + np.exp(-2 * weighted_input)) - 1.0
def backward(self, output):
return 1 - output * output
LSTM初始化
和前两篇文章代码架构一样，我们把LSTM的实现放在LstmLayer类中。
根据LSTM前向计算和方向传播算法，我们需要初始化一系列矩阵和向量。这些矩阵和向量有两类用途，一类是用于保存模型参数，例如$W_f$、$W_i$、$W_o$、$W_c$、$\mathbf{b}_f$、$\mathbf{b}_i$、$\mathbf{b}_o$、$\mathbf{b}_c$；另一类是保存各种中间计算结果，以便于反向传播算法使用，它们包括$\mathbf{h}_t$、$\mathbf{f}_t$、$\mathbf{i}_t$、$\mathbf{o}_t$、$\mathbf{\tilde{c}}_t$、$\mathbf{\tilde{c}}_t$、$\delta_t$、$\delta_{f,t}$、$\delta_{i,t}$、$\delta_{o,t}$、$\delta_{\tilde{c},t}$，以及各个权重对应的梯度。
在构造函数的初始化中，只初始化了与forward计算相关的变量，与backward相关的变量没有初始化。这是因为构造LSTM对象的时候，我们还不知道它未来是用于训练（既有forward又有backward）还是推理（只有forward）。
class LstmLayer(object):
def __init__(self, input_width, state_width,
learning_rate):
self.input_width = input_width
self.state_width = state_width
self.learning_rate = learning_rate
# 门的激活函数
self.gate_activator = SigmoidActivator()
# 输出的激活函数
self.output_activator = TanhActivator()
# 当前时刻初始化为t0
self.times = 0
# 各个时刻的单元状态向量c
self.c_list = self.init_state_vec()
# 各个时刻的输出向量h
self.h_list = self.init_state_vec()
# 各个时刻的遗忘门f
self.f_list = self.init_state_vec()
# 各个时刻的输入门i
self.i_list = self.init_state_vec()
# 各个时刻的输出门o
self.o_list = self.init_state_vec()
# 各个时刻的即时状态c~
self.ct_list = self.init_state_vec()
# 遗忘门权重矩阵Wfh, Wfx, 偏置项bf
self.Wfh, self.Wfx, self.bf = (
self.init_weight_mat())
# 输入门权重矩阵Wfh, Wfx, 偏置项bf
self.Wih, self.Wix, self.bi = (
self.init_weight_mat())
# 输出门权重矩阵Wfh, Wfx, 偏置项bf
self.Woh, self.Wox, self.bo = (
self.init_weight_mat())
# 单元状态权重矩阵Wfh, Wfx, 偏置项bf
self.Wch, self.Wcx, self.bc = (
self.init_weight_mat())
def init_state_vec(self):
'''
初始化保存状态的向量
'''
state_vec_list = []
state_vec_list.append(np.zeros(
(self.state_width, 1)))
return state_vec_list
def init_weight_mat(self):
'''
初始化权重矩阵
'''
Wh = np.random.uniform(-1e-4, 1e-4,
(self.state_width, self.state_width))
Wx = np.random.uniform(-1e-4, 1e-4,
(self.state_width, self.input_width))
b = np.zeros((self.state_width, 1))
return Wh, Wx, b
前向计算的实现
forward方法实现了LSTM的前向计算：
def forward(self, x):
'''
根据式1-式6进行前向计算
'''
self.times += 1
# 遗忘门
fg = self.calc_gate(x, self.Wfx, self.Wfh,
self.bf, self.gate_activator)
self.f_list.append(fg)
# 输入门
ig = self.calc_gate(x, self.Wix, self.Wih,
self.bi, self.gate_activator)
self.i_list.append(ig)
# 输出门
og = self.calc_gate(x, self.Wox, self.Woh,
self.bo, self.gate_activator)
self.o_list.append(og)
# 即时状态
ct = self.calc_gate(x, self.Wcx, self.Wch,
self.bc, self.output_activator)
self.ct_list.append(ct)
# 单元状态
c = fg * self.c_list[self.times - 1] + ig * ct
self.c_list.append(c)
# 输出
h = og * self.output_activator.forward(c)
self.h_list.append(h)
def calc_gate(self, x, Wx, Wh, b, activator):
'''
计算门
'''
h = self.h_list[self.times - 1] # 上次的LSTM输出
net = np.dot(Wh, h) + np.dot(Wx, x) + b
gate = activator.forward(net)
return gate
从上面的代码我们可以看到，门的计算都是相同的算法，而门和的计算仅仅是激活函数不同。因此我们提出了calc_gate方法，这样减少了很多重复代码。
反向传播算法的实现
backward方法实现了LSTM的反向传播算法。需要注意的是，与backword相关的内部状态变量是在调用backward方法之后才初始化的。这种延迟初始化的一个好处是，如果LSTM只是用来推理，那么就不需要初始化这些变量，节省了很多内存。
def backward(self, x, delta_h, activator):
'''
实现LSTM训练算法
'''
self.calc_delta(delta_h, activator)
self.calc_gradient(x)
算法主要分成两个部分，一部分使计算误差项：
def calc_delta(self, delta_h, activator):
# 初始化各个时刻的误差项
self.delta_h_list = self.init_delta() # 输出误差项
self.delta_o_list = self.init_delta() # 输出门误差项
self.delta_i_list = self.init_delta() # 输入门误差项
self.delta_f_list = self.init_delta() # 遗忘门误差项
self.delta_ct_list = self.init_delta() # 即时输出误差项
# 保存从上一层传递下来的当前时刻的误差项
self.delta_h_list[-1] = delta_h
# 迭代计算每个时刻的误差项
for k in range(self.times, 0, -1):
self.calc_delta_k(k)
def init_delta(self):
'''
初始化误差项
'''
delta_list = []
for i in range(self.times + 1):
delta_list.append(np.zeros(
(self.state_width, 1)))
return delta_list
def calc_delta_k(self, k):
'''
根据k时刻的delta_h，计算k时刻的delta_f、
delta_i、delta_o、delta_ct，以及k-1时刻的delta_h
'''
# 获得k时刻前向计算的值
ig = self.i_list[k]
og = self.o_list[k]
fg = self.f_list[k]
ct = self.ct_list[k]
c = self.c_list[k]
c_prev = self.c_list[k-1]
tanh_c = self.output_activator.forward(c)
delta_k = self.delta_h_list[k]
# 根据式9计算delta_o
delta_o = (delta_k * tanh_c *
self.gate_activator.backward(og))
delta_f = (delta_k * og *
(1 - tanh_c * tanh_c) * c_prev *
self.gate_activator.backward(fg))
delta_i = (delta_k * og *
(1 - tanh_c * tanh_c) * ct *
self.gate_activator.backward(ig))
delta_ct = (delta_k * og *
(1 - tanh_c * tanh_c) * ig *
self.output_activator.backward(ct))
delta_h_prev = (
np.dot(delta_o.transpose(), self.Woh) +
np.dot(delta_i.transpose(), self.Wih) +
np.dot(delta_f.transpose(), self.Wfh) +
np.dot(delta_ct.transpose(), self.Wch)
).transpose()
# 保存全部delta值
self.delta_h_list[k-1] = delta_h_prev
self.delta_f_list[k] = delta_f
self.delta_i_list[k] = delta_i
self.delta_o_list[k] = delta_o
self.delta_ct_list[k] = delta_ct
另一部分是计算梯度：
def calc_gradient(self, x):
# 初始化遗忘门权重梯度矩阵和偏置项
self.Wfh_grad, self.Wfx_grad, self.bf_grad = (
self.init_weight_gradient_mat())
# 初始化输入门权重梯度矩阵和偏置项
self.Wih_grad, self.Wix_grad, self.bi_grad = (
self.init_weight_gradient_mat())
# 初始化输出门权重梯度矩阵和偏置项
self.Woh_grad, self.Wox_grad, self.bo_grad = (
self.init_weight_gradient_mat())
# 初始化单元状态权重梯度矩阵和偏置项
self.Wch_grad, self.Wcx_grad, self.bc_grad = (
self.init_weight_gradient_mat())
# 计算对上一次输出h的权重梯度
for t in range(self.times, 0, -1):
# 计算各个时刻的梯度
(Wfh_grad, bf_grad,
Wih_grad, bi_grad,
Woh_grad, bo_grad,
Wch_grad, bc_grad) = (
self.calc_gradient_t(t))
# 实际梯度是各时刻梯度之和
self.Wfh_grad += Wfh_grad
self.bf_grad += bf_grad
self.Wih_grad += Wih_grad
self.bi_grad += bi_grad
self.Woh_grad += Woh_grad
self.bo_grad += bo_grad
self.Wch_grad += Wch_grad
self.bc_grad += bc_grad
print '-----%d-----' % t
print Wfh_grad
print self.Wfh_grad
# 计算对本次输入x的权重梯度
xt = x.transpose()
self.Wfx_grad = np.dot(self.delta_f_list[-1], xt)
self.Wix_grad = np.dot(self.delta_i_list[-1], xt)
self.Wox_grad = np.dot(self.delta_o_list[-1], xt)
self.Wcx_grad = np.dot(self.delta_ct_list[-1], xt)
def init_weight_gradient_mat(self):
'''
初始化权重矩阵
'''
Wh_grad = np.zeros((self.state_width,
self.state_width))
Wx_grad = np.zeros((self.state_width,
self.input_width))
b_grad = np.zeros((self.state_width, 1))
return Wh_grad, Wx_grad, b_grad
def calc_gradient_t(self, t):
'''
计算每个时刻t权重的梯度
'''
h_prev = self.h_list[t-1].transpose()
Wfh_grad = np.dot(self.delta_f_list[t], h_prev)
bf_grad = self.delta_f_list[t]
Wih_grad = np.dot(self.delta_i_list[t], h_prev)
bi_grad = self.delta_f_list[t]
Woh_grad = np.dot(self.delta_o_list[t], h_prev)
bo_grad = self.delta_f_list[t]
Wch_grad = np.dot(self.delta_ct_list[t], h_prev)
bc_grad = self.delta_ct_list[t]
return Wfh_grad, bf_grad, Wih_grad, bi_grad, \
Woh_grad, bo_grad, Wch_grad, bc_grad
梯度下降算法的实现
下面是用梯度下降算法来更新权重：
def update(self):
'''
按照梯度下降，更新权重
'''
self.Wfh -= self.learning_rate * self.Whf_grad
self.Wfx -= self.learning_rate * self.Whx_grad
self.bf -= self.learning_rate * self.bf_grad
self.Wih -= self.learning_rate * self.Whi_grad
self.Wix -= self.learning_rate * self.Whi_grad
self.bi -= self.learning_rate * self.bi_grad
self.Woh -= self.learning_rate * self.Wof_grad
self.Wox -= self.learning_rate * self.Wox_grad
self.bo -= self.learning_rate * self.bo_grad
self.Wch -= self.learning_rate * self.Wcf_grad
self.Wcx -= self.learning_rate * self.Wcx_grad
self.bc -= self.learning_rate * self.bc_grad
梯度检查的实现
和RecurrentLayer一样，为了支持梯度检查，我们需要支持重置内部状态：
def reset_state(self):
# 当前时刻初始化为t0
self.times = 0
# 各个时刻的单元状态向量c
self.c_list = self.init_state_vec()
# 各个时刻的输出向量h
self.h_list = self.init_state_vec()
# 各个时刻的遗忘门f
self.f_list = self.init_state_vec()
# 各个时刻的输入门i
self.i_list = self.init_state_vec()
# 各个时刻的输出门o
self.o_list = self.init_state_vec()
# 各个时刻的即时状态c~
self.ct_list = self.init_state_vec()
最后，是梯度检查的代码：
def data_set():
x = [np.array([[1], [2], [3]]),
np.array([[2], [3], [4]])]
d = np.array([[1], [2]])
return x, d
def gradient_check():
'''
梯度检查
'''
# 设计一个误差函数，取所有节点输出项之和
error_function = lambda o: o.sum()
lstm = LstmLayer(3, 2, 1e-3)
# 计算forward值
x, d = data_set()
lstm.forward(x[0])
lstm.forward(x[1])
# 求取sensitivity map
sensitivity_array = np.ones(lstm.h_list[-1].shape,
dtype=np.float64)
# 计算梯度
lstm.backward(x[1], sensitivity_array, IdentityActivator())
# 检查梯度
epsilon = 10e-4
for i in range(lstm.Wfh.shape[0]):
for j in range(lstm.Wfh.shape[1]):
lstm.Wfh[i,j] += epsilon
lstm.reset_state()
lstm.forward(x[0])
lstm.forward(x[1])
err1 = error_function(lstm.h_list[-1])
lstm.Wfh[i,j] -= 2*epsilon
lstm.reset_state()
lstm.forward(x[0])
lstm.forward(x[1])
err2 = error_function(lstm.h_list[-1])
expect_grad = (err1 - err2) / (2 * epsilon)
lstm.Wfh[i,j] += epsilon
print 'weights(%d,%d): expected - actural %.4e - %.4e' % (
i, j, expect_grad, lstm.Wfh_grad[i,j])
return lstm
我们只对$W_{fh}$做了检查，读者可以自行增加对其他梯度的检查。下面是某次梯度检查的结果：
%20-%20%E9%95%BF%E7%9F%AD%E6%97%B6%E8%AE%B0%E5%BF%86%E7%BD%91%E7%BB%9C(LSTM)/2256672-cb1c4561375c22a1.png)
GRU
前面我们讲了一种普通的LSTM，事实上LSTM存在很多变体，许多论文中的LSTM都或多或少的不太一样。在众多的LSTM变体中，GRU (Gated Recurrent Unit)也许是最成功的一种。它对LSTM做了很多简化，同时却保持着和LSTM相同的效果。因此，GRU最近变得越来越流行。
GRU对LSTM做了两个大改动：
- 将输入门、遗忘门、输出门变为两个门：更新门（Update Gate）$\mathbf{z}_t$和重置门（Reset Gate）$\mathbf{r}_t$。
- 将单元状态与输出合并为一个状态：$\mathbf{h}$。
GRU的前向计算公式为：
$\begin{align} \mathbf{z}_t&=\sigma(W_z\cdot[\mathbf{h}_{t-1},\mathbf{x}_t])\\ \mathbf{r}_t&=\sigma(W_r\cdot[\mathbf{h}_{t-1},\mathbf{x}_t])\\ \mathbf{\tilde{h}}_t&=\tanh(W\cdot[\mathbf{r}_t\circ\mathbf{h}_{t-1},\mathbf{x}_t])\\ \mathbf{h}&=(1-\mathbf{z}_t)\circ\mathbf{h}_{t-1}+\mathbf{z}_t\circ\mathbf{\tilde{h}}_t \end{align} $
下图是GRU的示意图：
%20-%20%E9%95%BF%E7%9F%AD%E6%97%B6%E8%AE%B0%E5%BF%86%E7%BD%91%E7%BB%9C(LSTM)/2256672-b784d887bf693253.png)
GRU的训练算法比LSTM简单一些，留给读者自行推导，本文就不再赘述了。
小结
至此，LSTM——也许是结构最复杂的一类神经网络——就讲完了，相信拿下前几篇文章的读者们搞定这篇文章也不在话下吧！现在我们已经了解循环神经网络和它最流行的变体——LSTM，它们都可以用来处理序列。但是，有时候仅仅拥有处理序列的能力还不够，还需要处理比序列更为复杂的结构（比如树结构），这时候就需要用到另外一类网络：递归神经网络(Recursive Neural Network)，巧合的是，它的缩写也是RNN。在下一篇文章中，我们将介绍递归神经网络和它的训练算法。现在，漫长的烧脑暂告一段落，休息一下吧:)
%20-%20%E9%95%BF%E7%9F%AD%E6%97%B6%E8%AE%B0%E5%BF%86%E7%BD%91%E7%BB%9C(LSTM)/2256672-9ba33f65294bfb98.jpg)
